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CH3微分中值定理与导数的应用.ppt


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文档介绍:
CH3 微分中值定理
与导数的应用
5/29/2018
1
陕西中医学院数学教研室
CH3 微分中值定理与导数的应用
中值定理
应用
研究函数性质及曲线性态
利用导数解决实际问题
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
推广
主要内容
利用洛必达法则求极限
5/29/2018
2
陕西中医学院数学教研室
一、罗尔(Rolle)定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
3.1 中值定理
第三章
5/29/2018
3
陕西中医学院数学教研室
费马(fermat)引理

存在
证: 设

一、罗尔(Rolle)定理
3.1 中值定理
(驻点)稳定点
5/29/2018
4
陕西中医学院数学教研室
满足:
(1) 在区间[a , b] 上连续
(2) 在区间(a , b) 内可导
(3) f(a)=f(b)
使
证:
,故在[a, b]上取得最大值
M和最小值m.
若M=m,则
因此
在(a, b) 内至少存在一点
罗尔(Rolle)定理
3.1 中值定理
5/29/2018
5
陕西中医学院数学教研室
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
若M > m,则 M和m中至少有一个与端点值不等,
3.1 中值定理
注意:1)
几何意义:在每一点都有切线的
一段连续曲线上,如果曲线的两
端点高度相等,则至少存在一条
水平切线
5/29/2018
6
陕西中医学院数学教研室
3.1 中值定理
注2 罗尔中值定理条件缺一不可,是充分条件
5/29/2018
7
陕西中医学院数学教研室
3.1 中值定理
例1.设
判断
有几个实根,并指出根所在的区间
故由Rolle定理,
解:


上连续
内可导
5/29/2018
8
陕西中医学院数学教研室
(1) 在区间[a,b] 上连续
满足:
(2) 在区间(a,b) 内可导
至少存在一点
使
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
作辅助函数
显然,
在[a, b]上连续,
在(a,b)内可导,

证:
问题转化为证
由罗尔定理知至少存在一点
即定理结论成立.
证毕
二、拉格朗日中值定理
3.1 中值定理
5/29/2018
9
陕西中医学院数学教研室
3.1 中值定理
注1 几何意义:在满足定理条件的曲线
),曲线在该点处的
切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中
引入的辅助函数正是曲线
上,至少存在一点P(
,
与直线
之差
5/29/2018
10
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